מדריך חינמי: שאלות הסתברות בפסיכוטכני ובדפ"ר
איך לפתור שאלות קוביות, מטבעות וכדורים בשק בלי להתבלבל בספירה
על שאלות הסתברות
שאלות הסתברות במבחן הפסיכוטכני והדפ"ר עוסקות כמעט תמיד באותם כלים: קוביות, מטבעות, כדורים בשק וכיתות תלמידים. הרמה המתמטית נמוכה, והקושי הוא בספירה מסודרת. נבחנים רבים מפספסים תוצאות (למשל שהזוג {(2,6)} שונה מהזוג {(6,2)}), או מחברים הסתברויות במקום להכפיל אותן.
המפתח להצלחה הוא לשאול שלוש שאלות לפני כל חישוב: מהם כל המקרים האפשריים, מהם המקרים הרצויים, והאם המאורעות מחוברים ב"וגם" (כפל) או ב"או" (חיבור). לפניכם ארבע שיטות מרכזיות לפתרון סוגי השאלות הנפוצים ביותר, עם שתי דוגמאות פתורות לכל אחת.
משולש הזהב של שאלות הסתברות:
הסתברות = תוצאות רצויות / כל התוצאות האפשריות
הסתברות היא תמיד בין 0 ל-1.
"וגם" פירושו כפל, "או" פירושו חיבור,
והמשלים הוא 1 - P.
1
הסתברות בסיסית (תוצאות רצויות חלקי כל התוצאות)
הסתברות של מאורע היא היחס בין מספר התוצאות הרצויות לבין מספר כל התוצאות האפשריות, כשכל התוצאות שוות סיכוי. התוצאה היא תמיד מספר בין 0 ל-1, ואפשר לכתוב אותה כשבר, כעשרוני או כאחוז. תמיד כדאי לצמצם את השבר.
דוגמה א': קובייה אחת
קובייה הוגנת נזרקת פעם אחת. מהי ההסתברות לקבל מספר זוגי?
- תוצאות רצויות: 2, 4, 6 - שלוש תוצאות
- כל התוצאות האפשריות: 1, 2, 3, 4, 5, 6 - שש תוצאות
- הסתברות: 3 / 6 = 1/2
תשובה: 1/2 (50%)
דוגמה ב': כדורים בשק
בשק יש 5 כדורים אדומים, 3 כחולים ו-2 ירוקים. שולפים כדור אחד באקראי. מהי ההסתברות שהכדור כחול?
- מספר הכדורים בשק: 5 + 3 + 2 = 10
- כדורים כחולים: 3
- הסתברות: 3 / 10
תשובה: 3/10 (30%)
2
זריקת שתי קוביות (36 תוצאות אפשריות)
האיור הבא מציג את כל האפשרויות של הטלת 2 קוביות
אפשר לראות באיור הבא שלמשל בשורה הראשונה, הקוביה הראשונה נשארת כל הזמן על אחת
בשורה השנייה הקוביה הראשונה נשארת כל הזמן על שתיים, וכך הלאה
ולכן אפשר לראות שעבור כל מצב ספציפי של הקוביה הראשונה (יש שישה מצבים ספציפיים של הקוביה הראשונה) יש שש אפשרויות לקוביה השנייה
אפשר לראות באיור הבא שלמשל בשורה הראשונה, הקוביה הראשונה נשארת כל הזמן על אחת
בשורה השנייה הקוביה הראשונה נשארת כל הזמן על שתיים, וכך הלאה
ולכן אפשר לראות שעבור כל מצב ספציפי של הקוביה הראשונה (יש שישה מצבים ספציפיים של הקוביה הראשונה) יש שש אפשרויות לקוביה השנייה
אז כפי שניתן לראות באיור לעיל,
בזריקת שתי קוביות יש 6 × 6 = 36 תוצאות אפשריות שוות סיכוי. חשוב לזכור שהזוגות הם סדורים: התוצאה (2,6) שונה מהתוצאה (6,2). כדאי להכיר את מספר הדרכים לקבל כל סכום: סכום 2 - דרך אחת, 3 - שתי דרכים, 4 - שלוש, 5 - ארבע, 6 - חמש, 7 - שש דרכים (השכיח ביותר), 8 - חמש, 9 - ארבע, 10 - שלוש, 11 - שתיים, 12 - דרך אחת.
דוגמה א': סכום נתון
זורקים שתי קוביות הוגנות. מהי ההסתברות שסכום המספרים שיתקבלו הוא 8?
- כל התוצאות: 6 × 6 = 36
- הזוגות שסכומם 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) - חמישה זוגות
- הסתברות: 5 / 36
תשובה: 5/36
דוגמה ב': לפחות מספר אחד
זורקים שתי קוביות הוגנות. מהי ההסתברות שלפחות באחת מהן יתקבל המספר 6?
- 6 בקובייה הראשונה: 6 תוצאות, 6 בקובייה השנייה: 6 תוצאות
- התוצאה (6,6) נספרה פעמיים ולכן מחסרים אותה פעם אחת
- תוצאות רצויות: 6 + 6 - 1 = 11
- הסתברות: 11 / 36
תשובה: 11/36
3
המאורע המשלים (1 פחות ההסתברות ההפוכה)
כשקשה לספור את התוצאות הרצויות, סופרים את התוצאות הלא רצויות ומחסרים מ-1: הסתברות המאורע = 1 פחות הסתברות המאורע המשלים. השיטה מתאימה במיוחד לניסוחים כמו "שונים", "לא" ו"לפחות".
דוגמה א': מספרים שונים
זורקים שתי קוביות הוגנות. מהי ההסתברות שיתקבלו שני מספרים שונים?
- המשלים: שני מספרים זהים: (1,1), (2,2), ..., (6,6) - שש תוצאות
- הסתברות המשלים: 6 / 36 = 1/6
- הסתברות המבוקשת: 1 - 1/6 = 5/6
תשובה: 5/6
דוגמה ב': מכפלה זוגית
זורקים שתי קוביות הוגנות. מהי ההסתברות שמכפלת המספרים שיתקבלו תהיה זוגית?
- המשלים: מכפלה אי-זוגית, שמתקבלת רק כששני המספרים אי-זוגיים
- בכל קובייה יש 3 מספרים אי-זוגיים: 3 × 3 = 9 תוצאות
- הסתברות המשלים: 9 / 36 = 1/4
- הסתברות המבוקשת: 1 - 1/4 = 3/4
תשובה: 3/4
4
מאורעות בלתי תלויים ("וגם" - כפל הסתברויות)
כשהמאורעות אינם משפיעים זה על זה (הטלות חוזרות, קובייה ומטבע, שני אנשים העובדים בנפרד), והשאלה דורשת שגם זה וגם זה יקרו, מכפילים את ההסתברויות.
דוגמה א': מטבע וקובייה
מטילים מטבע הוגן ובמקביל זורקים קובייה הוגנת. מהי ההסתברות לקבל עץ ומספר ראשוני?
- הסתברות לעץ: 1/2
- מספרים ראשוניים בקובייה: 2, 3, 5, ולכן 3/6 = 1/2
- הכפלה: 1/2 × 1/2 = 1/4
תשובה: 1/4
דוגמה ב': שני אנשים
דנה קולעת לסל בהסתברות 3/4 ויובל קולע בהסתברות 2/3. כל אחד זורק פעם אחת, באופן עצמאי. מהי ההסתברות ששניהם יקלעו?
- הכפלה: 3/4 × 2/3 = 6/12
- צמצום: 6/12 = 1/2
תשובה: 1/2
תרגול: 10 שאלות הסתברות
נסו לפתור כל שאלה בעצמכם לפי השיטות שלמדתם, ורק אז לחצו על הכפתור כדי לראות את הפתרון וההסבר.
1
שאלה 1
קל
קובייה הוגנת נזרקת פעם אחת. מהי ההסתברות לקבל מספר הגדול מ-4?
- שיטה 1 – הסתברות בסיסית
- תוצאות רצויות: 5, 6 - שתי תוצאות
- כל התוצאות האפשריות: שש
- הסתברות: 2 / 6 = 1/3
תשובה: 1/3
2
שאלה 2
קל
בשק יש 4 כדורים אדומים, 6 כחולים ו-5 ירוקים. שולפים כדור אחד באקראי. מהי ההסתברות שהכדור אדום או ירוק?
- שיטה 1 – הסתברות בסיסית
- מספר הכדורים בשק: 4 + 6 + 5 = 15
- כדורים רצויים (אדום או ירוק): 4 + 5 = 9
- הסתברות: 9 / 15 = 3/5 (אחרי צמצום ב-3)
תשובה: 3/5 (60%)
3
שאלה 3
קל
בכיתה 30 תלמידים, מתוכם 18 בנים. בוחרים תלמיד אחד באקראי. מהי ההסתברות שייבחר בת?
- שיטה 1 – הסתברות בסיסית
- מספר הבנות: 30 - 18 = 12
- הסתברות: 12 / 30 = 2/5 (אחרי צמצום ב-6)
תשובה: 2/5 (40%)
4
שאלה 4
בינוני
זורקים שתי קוביות הוגנות. מהי ההסתברות שסכום המספרים שיתקבלו הוא 7?
- שיטה 2 – שתי קוביות: כל התוצאות הן 6 × 6 = 36
- הזוגות שסכומם 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) - שישה זוגות
- הסתברות: 6 / 36 = 1/6
תשובה: 1/6
5
שאלה 5
בינוני-קשה
זורקים שתי קוביות הוגנות. מהי ההסתברות שסכום המספרים שיתקבלו הוא 5 או 9?
- שיטה 2 – שתי קוביות: כל התוצאות הן 36
- סכום 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) - ארבעה זוגות
- סכום 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) - ארבעה זוגות
- שני המאורעות אינם יכולים להתרחש יחד ("או"), ולכן מחברים: 4 + 4 = 8 תוצאות רצויות
- הסתברות: 8 / 36 = 2/9
תשובה: 2/9
6
שאלה 6
קשה
זורקים שתי קוביות הוגנות. מהי ההסתברות שהמספר בקובייה הראשונה יהיה גדול מהמספר בקובייה השנייה?
- שיטה 2 – שימוש בסימטריה
- כל התוצאות: 36
- תוצאות שבהן שני המספרים זהים: (1,1), ..., (6,6) - שש תוצאות
- תוצאות שבהן המספרים שונים: 36 - 6 = 30
- ב-30 התוצאות האלה, בדיוק חצי מהן הראשונה גדולה מהשנייה (ובחצי השני להפך): 30 / 2 = 15
- הסתברות: 15 / 36 = 5/12
תשובה: 5/12
7
שאלה 7
בינוני
מטילים 3 מטבעות הוגנים. מהי ההסתברות לקבל לפחות עץ אחד?
- שיטה 3 – המאורע המשלים: ניסוח "לפחות" מרמז על שימוש במשלים
- המשלים: אף עץ, כלומר שלוש פעמים פלי
- הסתברות המשלים: 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8
- הסתברות המבוקשת: 1 - 1/8 = 7/8
תשובה: 7/8
8
שאלה 8
קשה
זורקים שתי קוביות הוגנות. מהי ההסתברות שלפחות באחת מהן יתקבל מספר קטן מ-3?
- שיטה 3 – המאורע המשלים
- המשלים: בשתי הקוביות התקבל מספר 3 או יותר
- בכל קובייה ארבעה מספרים כאלה (3, 4, 5, 6): 4 × 4 = 16 תוצאות
- הסתברות המשלים: 16 / 36 = 4/9
- הסתברות המבוקשת: 1 - 4/9 = 5/9
תשובה: 5/9
9
שאלה 9
בינוני
זורקים קובייה הוגנת פעמיים. מהי ההסתברות לקבל מספר זוגי בהטלה הראשונה וגם מספר גדול מ-4 בהטלה השנייה?
- שיטה 4 – מאורעות בלתי תלויים ("וגם" פירושו כפל)
- מספר זוגי בהטלה הראשונה: 3/6 = 1/2
- מספר גדול מ-4 בהטלה השנייה (5, 6): 2/6 = 1/3
- הכפלה: 1/2 × 1/3 = 1/6
תשובה: 1/6
10
שאלה 10
בינוני-קשה
שלושה חברים זורקים כדור לסל, כל אחד פעם אחת ובאופן עצמאי. הסיכויים שלהם לקלוע הם 1/2, 2/3 ו-3/4. מהי ההסתברות ששלושתם יקלעו?
- שיטה 4 – מאורעות בלתי תלויים, ושלושה מאורעות מכפילים יחד
- הכפלה: 1/2 × 2/3 × 3/4 = 6/24
- צמצום: 6/24 = 1/4
תשובה: 1/4
רוצים לשלוט בעוד סוגי שאלות ההסתברות ולתרגל עשרות שאלות?
ארבע השיטות שהוצגו כאן הן רק ההתחלה! ערכת הלימוד המלאה כוללת את הטריקים והמודלים המתקדמים ביותר לשאלות דפ"ר קשות:
- מבחן תרגול מקיף: עשרות תרגילים מדמים ברמת קושי עולה.
- פתרונות מלאים ומפורטים: הסברים שלב-אחר-שלב המלמדים איך לפצח שאלות בזמן שיא.
במבצע מיוחד: 230 שקל בלבד!
פנייה ב-WhatsApp לרכישת הערכה המלאה ←